题目内容
【题目】（问题）
在
中，
，
，点
在直线
上（
除外），分别经过点和点
作
和
的垂线，两条垂线交于点
，研究和
的数量关系.
（探究发现）
某数学兴趣小组在探究，的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是中点时，只需要取
边的中点
（如图1），通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；
（数学思考）
那么点在直线上（除外）（其他条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？
请你从“点在线段上”“点在线段的延长线上”“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论.
【答案】（1）
；（2）；（3）仍然成立.
.
【解析】
(1)【探究发现】取
中点
，连接
，根据三角形全等的判定即可证明
，即可得出
和
的数量关系;
(2)【数学思考】分三种情况讨论:
①若点
在线段
上， 在AC上截取
，连接
;
②若点在线段的反向延长线上，在AC反向延长线上截取，连接;
③若点在线段的延长线上，在AC延长线上截取，连接;
根据三角形全等的判定即可证明，即可得出和的数量关系.
（1）和的数量关系为：.
理由：如图1，取中点，连接，
中，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
在
和
中
，
.
（2）①如图2，若点
在线段上，在上截取，连接，
，
在和中
，
.
②如图3，若点在线段的反向延长线上，在反向延长线上截取，连接，
在和中
.
③如图4，若点在线段的延长线上，在延长线上截取，连接，
在和中
.
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