Question

已知⊙与⊙相交于、两点，点在⊙上，为⊙上一点（不与，，重合），直线与⊙交于另一点。

（1）如图（1），若是⊙的直径，求证：；（4分）
（2）如图(2)，若是⊙外一点，求证：；（4分）
（3）如图（3），若是⊙内一点，判断（2）中的结论是否成立。（3分）

Answer 1

（1）（2）见解析；（3）成立

试题分析：（1）如图①，连接，，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得为⊙的直径，又，为的中点，即可证得结论；
（2）如图②，连接，并延长交⊙与点，连，根据圆内接四边形的对角互补，可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得，即得，从而证得结论；
（3）如图③，连接，并延长交⊙与点，连，由，，可得，即得，从而证得结论；      
（1）如图①，连接，
∵为⊙的直径     
∴
∴为⊙的直径     
∴在上
又，为的中点
∴△是以为底边的等腰三角形
∴；
（2）如图②，连接，并延长交⊙与点，连
∵四边形内接于⊙   
∴
又∵               
∴
∴
又为⊙的直径          
∴
∴；
（3）如图③，连接，并延长交⊙与点，连
∵
又
∴      
∴       
又
∴.
点评：解答本题的关键是掌握直角所对的圆周角是直角，圆周角的所对的弦是直径，圆内接四边形的对角互补，同弧所对的圆周角相等。