题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；
（3）当∠ABC=60°，BC=2时，点N为BC的中点，点M为边BP上一个动点，连接MC，MN，求MC+MN的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）3；（3）
.
【解析】
（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，然后求得AE的长即可；
（3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，求得DN的长即可求得MC+MN的最小值；
（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
设PC=PD=x，则AD=10-6=4，PA=8-x，
在Rt△PDA中，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
∴AE=CP=3；
（3）由题意得：点D与点C关于BP′对称，连接DN，
∵∠ABC=60°，BC=BD，
∴△BCD为等边三角形，
又∵点N为BC的中点，
∴DN⊥BC，
∵BC=BD=2，
∴BN=1，
∴DN=，
∴MC+MN的最小值为．
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（1）若商家将这批槟榔芋贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：
每千克槟榔芋售价（单位：元） | 可供出售的槟榔芋重量（单位：千克） | |
现在出售 | 3000 | |
x天后出售 |
（2）将这批槟榔芋贮藏多少天后一次性出售最终可获得最大利润？
