Question

如图，在△ABC中，AB=AC，⊙A与边AB、AC交于点D、E，劣弧的长为．P是⊙A上的一点，且∠DPE=60°
（1）求⊙A的半径；
（2）若BC=，判断边BC与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）解：设⊙O的半径为r．
∵∠DPE=60°，
∴∠DAE=120°
∵劣弧的长为，设⊙A的半径为r，
∴，即
∴r=2；

（2）BC与⊙A相切．
如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，AF⊥BC BC=
∴BF=BC=，
∠BAF=∠BAC=60°，
在Rt△ABF中，∠ABF=90°，∠BAF=60°
∴tan∠BAF=，即．
∴AF=2=r．
∴BC与⊙A相切．
分析：（1）根据圆周角定理求得劣弧所对的圆周角∠DAE=120°，所以根据弧长的计算公式l=来求该圆的半径；
（2）BC与⊙A相切．如图，过点A作AF⊥BC于点F，欲证明BC与⊙A相切，只需证得AF=r即可．
点评：本题考查了切线的判定、弧长的计算．切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．