题目内容
已知：矩形OABC的顶点O在平面直角坐标系的原点，边OA、OC分别在x、y轴的正半轴 上，且OA=3cm，OC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当点N运动1秒时，求点N的坐标；
（2）试求出多边形OAMN的面积S与t的函数关系式；
（3）t为何值时，以△OAN的一边所在直线为对称轴翻折△OAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？
【答案】分析：（1）过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴，由△CEN∽△COA，利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，确定N点坐标；
（2）将多边形OAMN分为△ONA和△AMN，用t分别表示两个三角形的面积，再求和即可；
（3）分为①直线ON为对称轴，②直线OA为对称轴，③直线AN为对称轴，画出图形，根据菱形的特殊性，列方程求解．
解答：
解：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1
过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴
∴△CEN∽△COA，∴
，即
，∴EN=
．（1分）
由勾股定理得：
，
，∴
．（2分）
（2）由（1）得
，∴
∴N点坐标为
．
∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成
∴
=
（3分）
=
（4分）
∴多边形OAMN的面积S=
．
（0≤t≤4）（5分）
（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，
当AN=A′N=A′O=OA，四边形OANA’是菱形．
即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．（6分）
②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，
此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．
当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG=AG=
，
∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，
∴CN=
，∴
（7分）
③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，
此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．
当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH=NH=
，
由面积法可求得OH=
，
在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=
．
∴
，∴
．（8分）
综上所述，t的值为
．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质及折叠变换．关键是根据题意，结合图形及特殊图形的性质，运用勾股定理，相似三角形的性质解题．
（2）将多边形OAMN分为△ONA和△AMN，用t分别表示两个三角形的面积，再求和即可；
（3）分为①直线ON为对称轴，②直线OA为对称轴，③直线AN为对称轴，画出图形，根据菱形的特殊性，列方程求解．
解答：
解：（1）∵t=1∴CN=1，AM=1过N作NE⊥y轴，作NF⊥x轴
∴△CEN∽△COA，∴
，即，∴EN=．（1分）由勾股定理得：
，，∴．（2分）（2）由（1）得
，∴∴N点坐标为
．∵多边形OAMN由△ONA和△AMN组成
∴
=（3分）=（4分）∴多边形OAMN的面积S=
．（0≤t≤4）（5分）
（3）①直线ON为对称轴时，翻折△OAN得到△OA′N，此时组成的四边形为OANA′，
当AN=A′N=A′O=OA，四边形OANA’是菱形．
即AN=OA，∴5-t=3∴t=2．（6分）
②直线OA为对称轴时，翻折△OAN得到△OAN′，
此时组成的四边形为ONAN′，连接NN′，交OA于点G．
当NN′与OA互相垂直平分时，四边形ONAN′是菱形．
即OA⊥NN′，OG=AG=
，∴NG∥CO，∴点N是AC的中点，
∴CN=
，∴（7分）③直线AN为对称轴时，翻折△OAN得到△O′AN，
此时组成的四边形为ONO′A，连接OO’，交AN于点H．
当OO′与AN互相垂直平分时，四边形ONO’A是菱形．
即OH⊥AC，AH=NH=
，由面积法可求得OH=
，在Rt△OAH中，由勾股定理得，AH=
．∴
，∴．（8分）综上所述，t的值为
．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质及折叠变换．关键是根据题意，结合图形及特殊图形的性质，运用勾股定理，相似三角形的性质解题．
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