题目内容
如图所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推．（1）填写下表：
| 层 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 各层对应的点数 | 4 4 |
8 8 |
12 12 |
16 16 |
20 20 |
4n 4n |
| 所有层的总点数 | 4 4 |
12 12 |
24 24 |
40 40 |
60 60 |
2n（n+1） 2n（n+1） |
（3）写出n层的四边形点阵的总点数；
（4）如果某一层共有79个点，你知道它是第几层吗？
（5）有没有n层的四边形点阵的总点数是180？如果有求出n，若没有说明理由．
分析：（1）根据图形查出点数即可；
（2）根据（1）中各层点数的变化规律写出第n层的点数即可；
（3）根据各层的点数列出算式，再根据求和公式列式计算即可；
（3）把点数代入第n层的点数表达式计算即可得解；
（4）把180代入第n层的点数表达式计算即可判断．
（2）根据（1）中各层点数的变化规律写出第n层的点数即可；
（3）根据各层的点数列出算式，再根据求和公式列式计算即可；
（3）把点数代入第n层的点数表达式计算即可得解；
（4）把180代入第n层的点数表达式计算即可判断．
解答：解：（1）填表如下：
（2）由以上数据可知，第1层点数为4=4×1，
第2层点数为8=4×2，
第3层点数为12=4×3，
…，
所以，第n层所对应的点数为4n；
（3）n层的四边形点阵的总点数为：4×1+4×2+4×3+…+4n，
=4（1+2+3+…+n），
=4×
，
=2n（n+1）；
（4）若4n=79，
则n不是整数，
所以，没有一层是79个点；
（5）若2n（n+1）=180，则n=9，
所以，前9层点数之和为180．
| 层数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 各层对应的点数 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 所有层的总点数 | 4 | 12 | 24 | 40 | 60 | 84 |
第2层点数为8=4×2，
第3层点数为12=4×3，
…，
所以，第n层所对应的点数为4n；
（3）n层的四边形点阵的总点数为：4×1+4×2+4×3+…+4n，
=4（1+2+3+…+n），
=4×
| n(n+1) |
| 2 |
=2n（n+1）；
（4）若4n=79，
则n不是整数，
所以，没有一层是79个点；
（5）若2n（n+1）=180，则n=9，
所以，前9层点数之和为180．
点评：本题是对图形变化规律的考查，准确识图找出点数与层数的关系是解题的关键．
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如图所示，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依此类推
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（1）填写下表：
| 层次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 该层对应的点数 | ||||||
| 所有层的总点数 |
（3）写出六边形的点阵共有n层时的总点数；
（4）如果六边形的点阵共有n层时的总点数为397，你知道共有多少层吗？
如图所示，有一个形如四边形的点阵，第1层每边有两个点，第2层每边有三个点，第3层每边有四个点，依此类推．
（1）填写下表：
| 层 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 各层对应的点数 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
| 所有层的总点数 | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ | ______ |
（2）写出第n层对应的点数；
（3）写出n层的四边形点阵的总点数；
（4）如果某一层共有79个点，你知道它是第几层吗？
（5）有没有n层的四边形点阵的总点数是180？如果有求出n，若没有说明理由．
