题目内容
如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为| 5 |
斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax2+ax-2上（1）点A的坐标为
（2）抛物线的关系式为
（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；
（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达△AB′C″的位置．请判断点B′、C″是否在（2）中的抛物线上，并说明理由．
分析：（1）求A点的坐标就是求OA的长，可在直角三角形OAC中，根据AC=
，OC=1来求出OA的长，即可得出A的坐标．如果过B作x轴的垂线，假设垂足为F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐标；
（2）将已经求出的A，B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式；
（3）根据（2）的函数关系式即可求出D点的坐标．求△DBC的面积时，可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分（假设BD交x轴于E）．可先根据B，D的坐标求出BD所在直线的解析式，进而求出E点的坐标，那么可求出CE的长，然后以B，D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面积；
（4）本题的关键是求出B′，C′两点的坐标．过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C″作C″P⊥y轴于点P．然后仿照（1）中求坐标时的方法，通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标．同理可得出C′的坐标．然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，进而可判断出两点是否在抛物线上．
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（2）将已经求出的A，B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式；
（3）根据（2）的函数关系式即可求出D点的坐标．求△DBC的面积时，可将△DBC分成△CBE和△DCE两部分（假设BD交x轴于E）．可先根据B，D的坐标求出BD所在直线的解析式，进而求出E点的坐标，那么可求出CE的长，然后以B，D两点的纵坐标的绝对值分别作为△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面积；
（4）本题的关键是求出B′，C′两点的坐标．过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，过点C″作C″P⊥y轴于点P．然后仿照（1）中求坐标时的方法，通过证Rt△AB′M≌Rt△BAN来得出B′的坐标．同理可得出C′的坐标．然后将两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，进而可判断出两点是否在抛物线上．
解答：
解：由题意得
（1）∵AC=
，CO=1，
∴AO=
=2，
∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
故答案为：A（0，2），B（-3，1）．
（2）将B（-3，1）代入y=ax2+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=
，
∴y=
x2+
x-2．
（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（-
，-
）．
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，
求得k=-
，b=-
，
∴BD的关系式为y=-
x-
．
设直线BD和x轴交点为E，则点E（-
，0），CE=
．
∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
×
×1+
×
×
，
=
×
×(1+
)=
．
（4）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P．（8分）
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=
x2+
x-2，可知点B′、C′在抛物线上．
（事实上，点P与点N重合）
解：由题意得（1）∵AC=
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∴AO=
(
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∴A（0，2），
做BF⊥OC，
∵BC=AC，∠AOC=∠BFC，
∠CAO=∠BCF，
∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
故答案为：A（0，2），B（-3，1）．
（2）将B（-3，1）代入y=ax2+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=
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∴y=
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（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（-
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设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入，
求得k=-
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| 4 |
∴BD的关系式为y=-
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| 4 |
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设直线BD和x轴交点为E，则点E（-
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∴△DBC的面积为SCBE+SCED=
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| 8 |
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| 8 |
（4）如图2，过点B′作B′M⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，
过点C″作C″P⊥y轴于点P．（8分）
在Rt△AB′M与Rt△BAN中，
∵AB=AB′，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM-∠AMB'-∠ANB，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；
将点B′、C′的坐标代入y=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（事实上，点P与点N重合）
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形全等、图形旋转变换等重要知识点；综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．
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