Question

【题目】定义：已知点是三角形边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点叫做该三角形的等距点．

（1）如图1：中，，，，在斜边上，且点是的等距点，试求的长；

（2）如图2，中，，点在边上，，为中点，且．

①求证：的外接圆圆心是的等距点；②求的值．

Answer 1

【答案】（1）或 ； （2）①证明见解析, ②．

【解析】

（1）根据三角形的等距点的定义得出OB=OE或OA=OF，利用相似三角形，表达出对应边，列出方程求解即可；

（2）①由△CPD为直角三角形，作出外接圆，通过平行线分线段成比例得出DP∥OB，进而证明△CBO≌△PBO，最后推出OP为点O到AB的距离，从而证明点O是△ABC的等距点；

（2）求相当于求，由①可得△APO为直角三角，通过勾股定理计算出BC的长度，从而求出．

解：（1）如图所示，作OF⊥BC于点F，作OE⊥AC于点E，

则△OBF∽△ABC，

∴

∵，，由勾股定理可得AB=5，

设OB=x，则

∴，

∵点是的等距点，

若OB=OE，

∴

解得：

若OA=OF，OA=5-x

∴，解得

故OB的值为或

（2） ①证明：∵△CDP是直角三角形，所以取CD中点O，作出△CDP的外接圆，连接OP，OB

设圆O的半径为r，则DC=2r，

∵D是AC中点，

∴OA=3r

∴，

又∵PA=2PB，

∴AB=3PB

∴

∴

∴∠ODP=∠COB，∠OPD=∠POB

又∵∠ODP=∠OPD，

∴∠COB=∠POB，

在△CBO与△PBO中， ，

∴△CBO≌△PBO（SAS）

∴∠OCB=∠OPB=90°，

∴OP⊥AB，

即OP为点O到AB的距离，

又∵OP=OC，

∴△CPD的外接圆圆心O是△ABC的等距点

②由①可知，△OPA为直角三角形，且∠PDC=∠BOC，OC=OP=r

∵在Rt△OPA中，OA=3r,

∴，

∴

∴在Rt△ABC中，AC=4r，，

∴，

∴