Question

3．【阅读】在平面直角坐标系中，若P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则线段PQ的中点坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．（不必说理，可直接运用）．
【理解】若点P（3，4），Q（-3，-6），则线段PQ的中点坐标是（0，-1）．
【运用】如图，已知△A′B′C′是由△ABC绕原点O旋转180°后，再向右平移3个单位而得到的，其中A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）．
（1）说明△ABC与△A′B′C′称中心对称，并求出对称中心的坐标．
（2）探究该平面内是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 【理解】线段的中点坐标公式直接计算即可；
【运用】（1）由△ABC与△A′B′C′称中心对称，根据对称点的连线被对称轴垂直平分，用线段的中点坐标公式直接计算即可；
（2）由平行四边形的三个顶点已知，根据平行四边形的对角线互相平分，借助线段的中点坐标公式直接计算即可；

解答 【理解】解：∵点P（3，4），Q（-3，-6），
∴线段PQ的中点坐标是（$\frac{3+（-3）}{2}$，$\frac{4+（-6）}{2}$）．
∴线段PQ的中点坐标是（0，-1），
故答案为（0，-1）；
【运用】（1）设AA'，BB'，CC'的中点分别为E，F，G．
∵A（-2，-5），B（-1，-2），C（-3，-1）
∴A'（5，5），B'（4，2），C'（6，1），
∴E（1.5，0），F（1.5，0），G（1.5，0），
∴E、F、G重合，即△ABC与AA'B'C'成中心对称，
对称中心的坐标为（1.5，0），
（2）设存在点D（x，y），使得以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
①当AB为平行四边形的对角线时，设AB的中点为O₁，
∴O₁（-1.5，-3.5）
∵O₁也是CD的中点
∴$\frac{x+（-3）}{2}$=-$\frac{3}{2}$.$\frac{y+（-1）}{2}$=-$\frac{7}{2}$
解得x=0，y=-6
∴D₁（0，-6），
②当BC为平行四边形的对角线时，
同①的解法，可得D₂（-2，2），
③当AC为平行四边形的对角线时，
同①的解法，可得D₃（-4，-4）
综上所述：存在点D，坐标分别为（0，-6），（-2，2），（-4，-4）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，线段的中点坐标的确定，根据是阅读材料，理解线段的中点坐标公式是解本题的关键．