Question

在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.

（Ⅰ）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；

（Ⅱ）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.

若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.

由，

可知△的周长最小.

∵ 在矩形中，，，为的中点，

∴ ，，.

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△，有.

∴ .

∴ 点的坐标为（1，0）.        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

（Ⅱ）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.

∵ GC∥EF，，

∴ 四边形为平行四边形，有.

又 、的长为定值，

∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小.

∵ OE∥BC，

∴ Rt△∽Rt△, 有 .

∴ .

∴ .

∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分