题目内容
【题目】已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．
（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN=MN；
（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论 ；（不用证明）
（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．
【答案】（1）证明见解析；（2）BM﹣DN=MN；（3）DN﹣BM=MN；证明见解析；
【解析】
（1）延长CB到G使BG=DN，由AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，可证明△AGB≌△AND，进而可知AG=AN，∠GAB=∠DAN，由∠MAN=45°，BAD=90°
可知∠GAM=45°，进而证明△AMN≌△AMG，根据MN=GM=BM+GB=MB+DN即可得答案.（2）BM﹣DN=MN；（3）在ND上截取DG=BM，可证明△ADG≌△ABM，进而可知AG=AM，∠MAB=∠DAG， 根据∠MAN=45°，∠BAD=90°，可证明△AMG为等腰直角三角形，可知AN为MG的垂直平分线，进而可知NM=NG，即可证明DN﹣BM=MN.
（1）延长CB到G使BG=DN，
∵AB=AD，GB=DN，∠AGB=∠ADN=90°，
∴△AGB≌△AND，
∴AG=AN ，∠GAB=∠DAN，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠GAM=∠NAM，而AM是公共边，
∴△AMN≌△AMG，
∴MN=GM=BM+GB=MB+DN；
（2）BM﹣DN=MN；
（3）DN﹣BM=MN．如图3，
在ND上截取DG=BM，
∵AD=AB，∠ABM=∠ADN=90°，
∴△ADG≌△ABM，
∴AG=AM，∠MAB=∠DAG，
∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，
∴∠MAG=90°，△AMG为等腰直角三角形，
∴AN垂直MG，
∴AN为MG垂直平分线，
所以NM=NG．
∴DN﹣BM=MN.
阅读快车系列答案
【题目】为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手回答100道选择题，答对一题得1分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表：
组别 | 分数段 | 频数（人） | 频率 |
1 | 50≤x＜60 | 30 | 0.1 |
2 | 60≤x＜70 | 45 | 0.15 |
3 | 70≤x＜80 | 60 | n |
4 | 80≤x＜90 | m | 0.4 |
5 | 90≤x＜100 | 45 | 0.15 |
请根据以图表信息，解答下列问题：
（1）表中m= ， n=；
（2）补全频数分布直方图；
（3）全体参赛选手成绩的中位数落在第几组；
（4）若得分在80分以上（含80分）的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访1人，求这名选手恰好是获奖者的概率．
