题目内容
如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=4，BC=5| 6 |
（1）在BC边上找一点O，过O点作OP⊥BC交AD于P，且OP2=AB•DC．求BO的长；
（2）以BC所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求经过A、O、D三点的抛物线的解析式，并画出引抛物线的草图；
（3）在（2）中的抛物线上，连接AO、DO，证明：△AOD为直角三角形；过P点任作一直线与抛物线相交于A′（x1，y1），D′（x2，y2）两点，连接A′O、B′O，试问：△A′O′D′还为直角三角形吗？请说明理由．
分析：（1）本题可通过构建相似三角形来求解，先求出OP的长，然后过A作AF∥BC交CD于F，交OP于E，根据AB、OP、CD的长可求出DF、PE的长，然后根据△APE和△ADF相似可求出AE即BO的长．
（2）在（1）中求出了BO的长，即可得出OC的长，那么A、D的坐标就可求得．然后用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（3）①证∠AOD=90°，可连接OA，OD通过证△AOB∽△ODC来得出∠AOB=∠ODC，进而求得∠AOB+∠DOC=∠ODC+∠DOC=90°，以此来证得∠AOD=90°．证两三角形相似时，可根据A、D的坐标求出AB，OB，OC，CD的长，然后证他们对应成比例即可．
②方法同①，可设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），求出与抛物线的交点然后同①．
（2）在（1）中求出了BO的长，即可得出OC的长，那么A、D的坐标就可求得．然后用待定系数法可求出抛物线的解析式．
（3）①证∠AOD=90°，可连接OA，OD通过证△AOB∽△ODC来得出∠AOB=∠ODC，进而求得∠AOB+∠DOC=∠ODC+∠DOC=90°，以此来证得∠AOD=90°．证两三角形相似时，可根据A、D的坐标求出AB，OB，OC，CD的长，然后证他们对应成比例即可．
②方法同①，可设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），求出与抛物线的交点然后同①．
解答：
解：（1）在BC上取一点O，作OP⊥BC交AD于点P．
由OP2=BA•CD=4×9=36，得OP=6（取正），
过点A作直线AE∥BC，交OP于E，交CD于F．则BO=AE=
•AF=
×5
=2
．（3分）
（2）根据题意建立直角坐标系，如图所示，则A（-2
，4），B（-2
，0），
O（0，0），C（3
，0），D（3
，9），
过A、O、D三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足
解得
，
∴抛物线的解析式为y=
x2．
（3）连接OA、OD，在Rt△AOB和Rt△ODC中，
∴
=
=
，
=
=
∴
=
，
∴Rt△AOB∽Rt△ODC，
∴∠AOD=180°-90°=90°，
∴△AOD为直角三角形．
解：（1）在BC上取一点O，作OP⊥BC交AD于点P．由OP2=BA•CD=4×9=36，得OP=6（取正），
过点A作直线AE∥BC，交OP于E，交CD于F．则BO=AE=
| EP |
| FD |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
| 6 |
（2）根据题意建立直角坐标系，如图所示，则A（-2
| 6 |
| 6 |
O（0，0），C（3
| 6 |
| 6 |
过A、O、D三点的抛物线的解析式y=ax2+bx+c满足
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=
| 1 |
| 6 |
（3）连接OA、OD，在Rt△AOB和Rt△ODC中，
∴
| AB |
| BO |
| 4 | ||
2
|
| ||
| 3 |
| OC |
| CD |
3
| ||
| 9 |
| ||
| 3 |
∴
| AB |
| OB |
| OC |
| CD |
∴Rt△AOB∽Rt△ODC，
∴∠AOD=180°-90°=90°，
∴△AOD为直角三角形．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．
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