Question

已知AB 是⊙O 的直径,点 P 在线段 AB 的延长线上,BP=OB=2,点 Q 在⊙O 上,连接 PQ． 

（Ⅰ）如图①，线段 PQ 所在的直线与⊙O 相切，求线段 PQ 的长； 

（Ⅱ）如图②，线段 PQ 与⊙O 还有一个公共点 C，且 PC=CQ，求线段 PQ 的长． 

Answer 1

（Ⅰ）解：连接 QO． 

∵  线段 PQ 所在的直线与⊙O 相切，点 Q 在⊙O 上， ∴  OQ⊥QP，即∠OQP=90°． 

又∵OQ= OB ，BP=OB =2，∴OQ=2，OP=4． ∴  PQ=    即线段 PQ 的长为.

（Ⅱ）解：过点 O 作 OE⊥QC，垂足为 E，连接 QO. 

          ∵ OE⊥QC，垂足为 E，  ∴  QE=EC．     设 QE=x ，则 EC=x ，QC=2x． 

          ∵PC=CQ，∴PC=2x，PE=3x，PQ=4x． 

           由（Ⅰ）知 OQ=2，OP=4． ∴ 在 Rt△QOE 中， OE ²= OQ ² -QE ² = 2²-x ² ，

在 Rt△POE 中, OE ² = OP ²- PE ² = 4²- 9x ² ， ∴ 2²- x ² = 4²-9x ² ， 

解这个方程，得 (不合题意，舍)． 

     ∴  PQ=4x= 4×=.即线段 PQ 的长为.