已知:将两个等腰Rt△ABC和Rt△BDE如图1所示摆放.连接AE.取AE的中点F.连CF.DF．(1)CF.DF的关系为 .∠DFC的度数为 ,(2)若将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转角度α.在旋转的过程中其它的条件均不变．①如图2.当α=90°时.(1)中的结论是否成立?请写出你的结论.并说明理由,②如图3.当0°≤α≤360°.(1)中结论是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：将两个等腰Rt△ABC和Rt△BDE（∠BDE=∠ACB=90°）如图1所示摆放，连接AE，取AE的中点F，连CF、DF．

（1）CF、DF的关系为

，∠DFC的度数为

；
（2）若将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转角度α，在旋转的过程中其它的条件均不变．
①如图2，当α=90°时，（1）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
②如图3，当0°≤α≤360°，（1）中结论是否成立，并证明．

考点：旋转的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明CF=DF，进而可求出∠DFC=90°；
（2）①（1）中的结论仍旧成立．延长CF交BE与点H，连接CD，DE易证△AFC≌△EFH，利用全等三角形的性质和已知条件可证明△DCH是等腰直角三角形，从而证明结论成立；②（1）中的结论仍旧成立．延长CF至R，使FR=CF，连接DC，DR，根据①中的证明思路即可得到CF=DF，∠DFC=90°．

解答：解：（1）CF=DF，90°，
∵CF，DF都是斜边AE的中线，
∴CF=DF=FE，
∴∠FCE=∠FEC，∠FDE=∠FED，
∴∠DFC=∠DFA+∠AFC=2（∠FEC+∠FED）=2×45°=90°，
故答案为：CF=DF，90°；
（2）①（1）中的结论仍旧成立，理由如下：
延长CF交BE与点H，连接CD，DE，
∵AC∥BE，
∴∠CAF=∠HEF，
∵∠AFC=∠EFH，AF=FE，
在△AFC和△EFH中，

∠AFC=∠EFH

∠CAF=∠HEF

AF=FE

，
∴△AFC≌△EFH（AAS），
∴CF=FH，AC=HE=CB，

∵∠CBD=∠HED=45°，BD=ED，
在△CBD和△HED中，

BC=HE

∠CBD=∠HED=45°

BD=DE

，
∴△CBD≌△HED（SAS），
∴CD=HD，∠CDB=∠HDE，
∴∠CDH=∠BDE=90°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CF=CD，∠DFC=90°；
②（1）中的结论仍旧成立延长CF至R，使FR=CF，连接DC，DR，
在△AFC和△EFR中，

CF=FR

∠AFC=∠EFR

AF=FE

，
∴△AFC≌△EFR（SAS），
∴ER=AC=CB，
∴∠CAF=∠REF，
∴∠RED=360°-（∠DEA+∠REF）=360°-（∠DEA+∠CAEF）=360°-（540°-∠ACB-∠CBD-∠BDE）=360°-540°+90°+∠CBD+90°=∠CBD，
在△RED和△CBD中，

RE=CB

∠RED=∠CBD

DE=DB

，
∴△RED≌△CBD（SAS），
∴DC=DR，∠BDC=EDR，
∴∠CDR=∠BDE=90°，
∴△DCR是等腰直角三角形，
∴CF=CD，∠DFC=90°．

点评：本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角和定理，题目的综合性较强，难度较大．