Question

如图△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）求出EF∥AC，根据EF=AC，利用平行四边形的判定推出四边形ACEF是平行四边形即可；
（2）求出CE=

1

2

AB，AC=

1

2

AB，推出AC=CE，°，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，DE是BC垂直平分线，
∴∠BDE=∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
∵EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE．

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，
证明：∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴AC=

1

2

AB，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵DE∥AC，
∴BE=AE，
∵∠ACB=90°，
∴CE=

1

2

AB，
∴CE=AC，
∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形，
即当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，线段垂直平分线，含30度角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质等知识点的应用，综合性比较强，有一定的难度．