Question

（2012•随州模拟）如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC于D点，E为BC的中点，连接ED并延长交BA延长线于F点．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）若AB=

5

，AD=1，求线段AF的长；
（3）当D为EF的中点时，试探究线段AB与BC之间的数量关系．

Answer 1

分析：（1）连接BD，DO，则可得∠ODA=∠OAD，结合直径所对的圆周角为90°，可得∠ADB=90°，从而可证明OD⊥DE，也可得出结论．
（2）设AF=x，则FD=

FA•FB

=

x(x+ 5 )

（切割线定理），在RT△ABD中，求出BD，然后判断△AFD∽△DFB，利用相似三角形的性质可得出关于x的方程，解出即可得出答案；
（3）根据切线的性质及直角三角形中斜边中线等于斜边一半可判断出△DEB为等边三角形，然后可得出∠BCD=30°，继而可得出线段AB与BC之间的数量关系．

解答：证明：（1）连接BD，DO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即∠OAD+∠ABD=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD．
又∵∠ADF=∠ABD，
∴∠ADF+∠ODA=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线；

（2）设AF=x，则FD=

FA•FB

=

x(x+ 5 )

（切割线定理），
在RT△ABD中，BD=

AB2-AD2

=2，
∵∠AFD=∠DFB，∠FDA=∠FBD，
∴△AFD∽△DFB，
∴

DF

FB

=

AD

BD

=

1

2

，即

x(x+ 5 )

x+ 5

=

1

2

，
解得：x=

5

3

，即线段AF的长度为

5

3

；

（3）∵点D为EF中点，
∴BD=FD=DE（斜边中线等于斜边一半），
又∵ED=EB（切线的性质），
∴△EDB为等边三角形，
∴∠DBE=60°，∠BCD=30°，
∴BC=

3

AB；

点评：此题属于圆的综合题，涉及了解直角三角形、切割线定理切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，考察的知识点较多，解答第二问是本题的难点，关键是表示用AF表示出FD，难度较大．