Question

【题目】请阅读下述材料：

下述形式的繁分数叫做有限连分数，其中n是自然数，a0是整数，a1，a2，a3，…，an是正整数：

其中称为部分商。

按照以下方式可将任何一个分数转化为连分数的形式：，则；考虑的倒数，有，从而；再考虑的倒数，有，于是得到a的连分数展开式，它有4个部分商：3，1，3，3；

可利用连分数来求二元一次不定方程的特殊解，以为例，首先将写成连分数的形式，如上所示；其次，数部分商的个数，本例是偶数个部分商（奇数情况请见下例）；最后计算倒数第二个渐近分数，从而是一个特解。

考虑不定方程，先将写成连分数的形式：。

注意到此连分数有奇数个部分商，将之改写为偶数个部分商的形式：

计算倒数第二个渐近分数：，所以是的一个特解。

对于分式，有类似的连分式的概念，利用将分数展开为连分数的方法，可以将分式展开为连分式。例如的连分式展开式如下，它有3个部分商： ；

再例如，，它有4个部分商：1，。

请阅读上述材料，利用所讲述的方法，解决下述两个问题

（1）找出两个关于x的多项式p和q，使得。

（2）找出两个关于x的多项式u和v，使得。

Answer 1

【答案】（1）p＝x，q＝x+1；（2）u＝x+1，v＝x2+2x.

【解析】

（1）根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式，即可得到所求关于x的多项式p和q；

（2）根据题意可以将题目中的式子分式展开为连分式；然后按要求求出计算倒数第二个渐进分式即可两个关于x的多项式u和v．．

解：（1） ，

计算倒数第二个渐进分数： ，

∴p＝x，q＝x+1，

（2） ，

计算倒数第二个渐进分数： ，

∴u＝x+1，v＝x2+2x.