Question

如图，四边形ABCD中，CD∥AB，E是AD中点，CE交BA延长线于点F．
（1）试说明：CD=AF；
（2）若BC=BF，试说明：BE⊥CF．

Answer 1

证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠FAE，
又∵E是AD中点，
∴DE=AE，
又∵∠AEF=∠DEC，
∴△CDE≌△FAE，
∴CD=AF；

（2）∵BC=BF，
∴△BCF是等腰三角形，
又∵△CDE≌△FAE，
∴CE=FE，
∴BE⊥CF（等腰三角形底边上的中线与底边上的高相互重合）．
分析：（1）由CD∥AB，可得∠CDE=∠FAE，而E是AD中点，因此有DE=AE，再有∠AEF=∠DEC，所以利用ASA可证△CDE≌△FAE，再利用全等三角形的性质，可得CD=AF；
（2）先利用（1）中的三角形的全等，可得CE=FE，再根据BC=BF，利用等腰三角形三线合一的性质，可证BE⊥CF．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；证明△CDE≌△FAE是正确解答本题的关键．