Question

在直角坐标系中，正方形ABCD上点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，1），则点D的坐标为    ；若以C为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，点A的对应点为A₁，则A₁的坐标为    ；再以A₁为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，得到点C的对应点C₁，若重复以上操作，则点A₅的坐标为    ．

Answer 1

【答案】分析：根据AB和AC之间的距离，可将点A的坐标求出，根据点A和点C的坐标，可将A，C所在的直线方程求出，分别以C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅为中心将正方形进行旋转，则上述10个点总在AC所在的直线方程上，根据所求的点到点C的距离，列出方程，可进行求解．
解答：解：设A点坐标为（a，b），点D的坐标为（c，d），
∵正方形ABCD上点B的坐标为（0，2），点C的坐标为（2，1），
∴正方形ABCD的边长为=，对角线AC=，
∴，解得：c=3，d=-3；
，解得：a=1，b=4．
故AC所在直线方程为：y=-3x+7，点D的坐标为（3，-3）．
（1）若以C为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，点A的对应点为A₁，
则A1C=，设A₁点坐标为（x，y），则（x-2）²+（-3x+7-1）²=（）²，解得：x=3，x=1（舍去），
∴y=-3×3+7=-2，
∴点A1的坐标为（3，-2）；

（2）再以A₁为中心，把正方形ABCD按顺时针旋转180°后，得到点C的对应点C₁，若重复以上操作，则点C，A₁，C₁，A₂，C₂，A₃，C₃，A₄，C₄，A₅都在AC所在的直线方程上，A₅C=9，
设A5的坐标为（u，v），则（u-2）²+（-3u+7-1）²=（）²，解得：u=11，u=-7（舍去），
∴v=-3×11+7=-26，
∴点A5的坐标为（11，-26）．
点评：本题将一个图形的旋转放在坐标系中来考查，是一道考查数与形结合的好试题，也为高中后续学习做了良好的铺垫．从考试情况看，还有非常多考生没完全理解旋转的三大要素即中心、方向、角度，故失分的较多．本题综合考查学生旋转和坐标知识．