题目内容
如图，已知直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在
直线L2从点C向点B移动（一点到达终点，另一点即停止运动）．点P、Q同时出发，移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒．
（1）求直线L2的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，当过P、Q两点的直线平分△OCB的周长时，△PCQ的面积达到最大？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
解：（1）y=-
x+6．（2）过点Q作QE⊥AC于点E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴
=
，
=
，∴QE=
t=
，∴S=
PC•QE=（12-t）•
t=-
t2+
t．（3）存在，
S=-
t2+t=-（t-6）2+10.8，∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
∴L△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴
=
=
，即==
．∴QE=
，CE=
，∴OE=
，∴点Q的坐标为（
，）．（4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=
（12-t）∵△CQE∽△CBO，
∴
=，即=
，∴t=
；③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，过点P作PH⊥BC于点H，
则CH=HQ=
t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，∴
=
，即
=
，∴t=
．综上所述t=6，t=
，t=时，△PQC为等腰三角形．分析：（1）因为直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标，又因直线L2经过B、C两点，B的坐标已经求出，点C的坐标为（8，0），所以利用待定系数法结合方程组即可求出L2的解析式；
（2）要求△PCQ的面积S，需求出PC上的高，因此需过点Q作QE⊥AC于点E，因为OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因为QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得
=，所以QE=t，S=PC•QE=（12-t）•t，整理即可；（3）由（2）知S=-
t2+t=-（t-6）2+10.8，利用二次函数最值的求法可知当t=6时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，L△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，从而可判断此时直线PQ将三角形的周长平分，接下来求Q的坐标：由（2）中△QCE∽△BOC，可得
==，即==．所以QE=，CE=，OE=，即点Q的坐标为（，）；（4）因为△PCQ为等腰三角形，所以需分情况讨论：
①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形，因为AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②当PQ=CQ时，因为QE⊥OC，所以CE=OE=
（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得=，代入相关数据即可求出t的值；③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，可过点P作PH⊥BC于点H，利用等腰三角形的三线合一可得CH=HQ=
t，因为∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以=，代入相关数据即可求出t的值．点评：本题是一道综合性较强的题目，需仔细分析题意，利用一次函数和相似三角形的知识来解决问题，另外要注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
向点B移动．点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．
直线L2从点C向点B移动（一点到达终点，另一点即停止运动）．点P、Q同时出发，移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒．
如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1，与x轴、y轴分别相交于A，B两点，直线l2经过B，C两点，点C的坐标为（8，0）．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t s（1＜t＜10）．
B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．