题目内容
如图，已知直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线L2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在
直线L2从点C向点B移动（一点到达终点，另一点即停止运动）．点P、Q同时出发，移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒．（1）求直线L2的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，当过P、Q两点的直线平分△OCB的周长时，△PCQ的面积达到最大？若存在，求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
分析：（1）因为直线L1的解析式为y=1.5x+6，直线L1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，所以分别令y=0，x=0，即可求出A、B的坐标，又因直线L2经过B、C两点，B的坐标已经求出，点C的坐标为（8，0），所以利用待定系数法结合方程组即可求出L2的解析式；
（2）要求△PCQ的面积S，需求出PC上的高，因此需过点Q作QE⊥AC于点E，因为OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因为QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得
=
，所以QE=
t，S=
PC•QE=
（12-t）•
t，整理即可；
（3）由（2）知S=-
t2+
t=-
（t-6）2+10.8，利用二次函数最值的求法可知当t=6时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，L△CBO=6+8+10=24，利用CP+CQ=12，从而可判断此时直线PQ将三角形的周长平分，接下来求Q的坐标：
由（2）中△QCE∽△BOC，可得
=
=
，即
=
=
．所以QE=
，CE=
，OE=OC-CE=8-
=
，即点Q的坐标为（
，
）；
（4）因为△PCQ为等腰三角形，所以需分情况讨论：
①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形，因为AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②当PQ=CQ时，因为QE⊥OC，所以CE=OE=
（12-t），利用△CQE∽△CBO，可得
=
，代入相关数据即可求出t的值；
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，可过点P作PH⊥BC于点H，利用等腰三角形的三线合一可得CH=HQ=
t，因为∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，可得△CHP∽△COB，所以
=
，代入相关数据即可求出t的值．
（2）要求△PCQ的面积S，需求出PC上的高，因此需过点Q作QE⊥AC于点E，因为OB=6，OC=8，利用勾股定理可得BC=10，PC=12-t•1，因为QE⊥AC，BO⊥AC，所以可得△QCE∽△BOC，利用相似三角形对应边的比等于相似比可得
| QE |
| BO |
| CQ |
| CB |
| 6 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
（3）由（2）知S=-
| 3 |
| 10 |
| 18 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
由（2）中△QCE∽△BOC，可得
| QE |
| BO |
| CQ |
| BC |
| CE |
| CO |
| QE |
| 6 |
| 6 |
| 10 |
| CE |
| 8 |
| 18 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
（4）因为△PCQ为等腰三角形，所以需分情况讨论：
①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形，因为AP=CQ=t，CP=12-t，所以t=12-t，解之即可；
②当PQ=CQ时，因为QE⊥OC，所以CE=OE=
| 1 |
| 2 |
| CQ |
| CB |
| CE |
| CO |
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，可过点P作PH⊥BC于点H，利用等腰三角形的三线合一可得CH=HQ=
| 1 |
| 2 |
| CH |
| OC |
| CP |
| CB |
解答：
解：（1）y=-
x+6．
（2）过点Q作QE⊥AC于点E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴
=
，
=
，∴QE=
t=
t，
∴S=
PC•QE=
（12-t）•
t=-
t2+
t．
（3）存在，
S=-
t2+
t=-
（t-6）2+10.8，
∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
∴L△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴
=
=
，即
=
=
．
∴QE=
，CE=
，
∴OE=OC-CE=8-
=
，
∴点Q的坐标为（
，
）．
（4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=
（12-t）
∵△CQE∽△CBO，
∴
=
，即
=
，
∴t=
；
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，过点P作PH⊥BC于点H，
则CH=HQ=
t，∠CHP=∠COB=90°，∠PCH=∠BCO，∴△CHP∽△COB，
∴
=
，即
=
，∴t=
．
综上所述t=6，t=
，t=
时，△PQC为等腰三角形．
解：（1）y=-| 3 |
| 4 |
（2）过点Q作QE⊥AC于点E，
OB=6，OC=8，∴BC=10，PC=12-t•1，
QE⊥AC，BO⊥AC，∴△QCE∽△BOC，
∴
| QE |
| BO |
| CQ |
| CB |
| QE |
| 6 |
| t |
| 10 |
| 6 |
| 10 |
| 3 |
| 5 |
∴S=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
| 18 |
| 5 |
（3）存在，
S=-
| 3 |
| 10 |
| 18 |
| 5 |
| 3 |
| 10 |
∴当t=2时，S有最大值，最大值为10.8，此时CP=6，CQ=6，
∴L△CBO=6+8+10=24，∴CP+CQ=12，
△QCE∽△BOC，∴
| QE |
| BO |
| CQ |
| BC |
| CE |
| CO |
| QE |
| 6 |
| 6 |
| 10 |
| CE |
| 8 |
∴QE=
| 18 |
| 5 |
| 24 |
| 5 |
∴OE=OC-CE=8-
| 24 |
| 5 |
| 16 |
| 5 |
∴点Q的坐标为（
| 16 |
| 5 |
| 18 |
| 5 |
（4）①当CP=CQ时，△PQC为等腰三角形；
∵AP=CQ=t，CP=12-t，
∴t=12-t，即t=6，当PQ=CQ时，△PQC为等腰三角形；
②PQ=CQ，QE⊥OC，
∴CE=PE=
| 1 |
| 2 |
∵△CQE∽△CBO，
∴
| CQ |
| CB |
| CE |
| CO |
| t |
| 10 |
| ||
| 8 |
∴t=
| 60 |
| 13 |
③当PQ=CP时，△PQC为等腰三角形，过点P作PH⊥BC于点H，
则CH=HQ=
| 1 |
| 2 |
∴
| CH |
| OC |
| CP |
| CB |
| ||
| 8 |
| 12-t |
| 10 |
| 96 |
| 13 |
综上所述t=6，t=
| 60 |
| 13 |
| 96 |
| 13 |
点评：本题是一道综合性较强的题目，需仔细分析题意，利用一次函数和相似三角形的知识来解决问题，另外要注意解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
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