Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90゜，BD⊥DC，BD=DC，CE平分∠BCD，交AB于点E，交BD于点H，EN∥DC交BD于点N．求证：
（1）CH=（

2

+1）EH；
（2）

S△ENH

S△EBH

=

EH

EC

．

Answer 1

分析：（1）过H作HM⊥BC于M，设HM=x，根据角平分线的性质得出DH=x，由于∠ABC=90°，BD⊥DC，BD=DC，由此得到∠DBC=45°，而AD∥CB，由此可以证明△ADB是等腰直角三角形，又CE平分∠BCD，∠BDC=∠ABC=90°，由此可以证明△DCH∽△EBC，再利用相似三角形的性质可以推出∠BEH=∠EHB，然后利用对顶角相等证明∠BHE=∠BEH，接着得到BH=BE，然后用x分别表示BE、EN、CD，又由EN∥DC得到△DCH∽△NEH，再利用相似三角形的性质即可证明；
（2）利用（1）的结论可以证明△ENH∽△CBE，然后利用相似三角形的性质和三角形的面积公式即可证明．

解答：证明：（1）如图，过H作HM⊥BC于M，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，而∠EBC=∠BDC=90°，
∴∠BEH=∠DHC，
而∠DHC=∠EHB，
∴∠BEH=∠EHB，
∴BE=BH．
设HM=x，那么DH=x，
∵BD⊥DC，BD=DC，
∴∠DBC=∠ABD=45°，
∴BH=

2

x=BE，
∴EN=x，
∴CD=BD=DH+BH=x+

2

x=（

2

+1）x，
即

CD

EN

=

2

+1．
∵EN∥DC，
∴△DCH∽△NEH，
∴

CH

EH

=

CD

EN

=

2

+1，即CH=（

2

+1）EH；

（2）由（1）得∠BEH=∠EHB，
∵EN∥DC，
∴∠ENH=∠CDB=90°，
∴∠ENH=∠EBC=90°，
∴△ENH∽△CBE，
∴EH：EC=NH：BE，
而

S△ENH

S△EBH

=

NH

BH

，BE=BH，
∴

S△ENH

S△EBH

=

EH

EC

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、梯形的性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．