如图.抛物线y=ax2-6x+c与x轴交于点A.B(5.0).与y轴交于点C(0.5).点P是抛物线上的动点.设点P的横坐标为t.连接PB.PC.PC与x轴交于点D.过点P作y轴的平行线交x轴于点H.交直线BC于点E．(1)求该抛物线所对应的函数解析式,(2)若点P在第四象限.则△BPC的面积有最大值.并求出其值,(3)当t＜5时.△BPE能否为等腰三角形?若能.请求出此时点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．如图，抛物线y=ax²-6x+c与x轴交于点A、B（5，0），与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P在第四象限，则△BPC的面积有最大值（填“最大”或“最小”），并求出其值；
（3）当t＜5时，△BPE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

分析（1）由B、C的坐标可求得抛物线解析式；
（2）可求得直线BC的解析式，则可用t表示出PE的长，进一步可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）可用t表示出P、H、E 的坐标，由（2）可知△BHE为等腰直角三角形，可求得BE=$\sqrt{2}$（-t+5），分PE=PB、BE=BP和BE=PE三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值，则可求得P点的坐标．

解答解：
（1）∵B（5，0），C（0，5），
∴c=5，0=25a-30+c，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²-6x+5；

（2）∵B（5，0），C（0，5），
∴直线BC解析式为y=-x+5，
∵P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．
∴P（t，t²-6t+5），E（t，-t+5），
∴PE=-t+5-（t²-6t+5）=-t²+5t，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$OB•PE=$\frac{1}{2}$×5（-t²+5t）=-$\frac{5}{2}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{125}{8}$，
∵-$\frac{5}{2}$＜0，
∴S_△PBC有最大值，最大值为$\frac{125}{8}$，
故答案为：最大；

（3）存在．理由如下：
由题意可知P（t，t²-6t+5），则H（t，0），E（t，-t+5），且△BHE为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$BH=$\sqrt{2}$（5-t），
∵△BPE为等腰三角形，
∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三种情况，
①当PE=PB时，由于∠PEB=45°，
∴△PEB为等腰直角三角形，点P在A点处，即P（1，0），符合题意；
②当BE=BP时，由于PE⊥BH，
∴HE=HP，即点E与点P关于x轴对称，
∴-t+5+t²-6t+5=0，解得t=2或t=5（不合题意，舍去），
∴P（2，-3）；
③当BE=PE时，
∵△EHB为等腰直角三角形，
∴BE=$\sqrt{2}$HB=$\sqrt{2}$（5-t），且PE=|-t²+5t|，
∴|-t²+5t|=$\sqrt{2}$（5-t），解得t=±$\sqrt{2}$或t=5（不舍题意，舍去），
∴P（$\sqrt{2}$，7-6$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，7+6$\sqrt{2}$）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，0）或（2，-3）或（$\sqrt{2}$，7-6$\sqrt{2}$）或（-$\sqrt{2}$，7+6$\sqrt{2}$）．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出△PBC的面积是解题的关键，在（3）中用t分别表示出BE、PE和BP的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

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