Question

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF。将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O。

（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是____。 （2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； （3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明。

Answer 1

解：（1）相等； （2），理由如下： 由△ABC≌△DEF，得 AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF， ∴∠ABF=∠DEC， 在△ABF和△DEC中， ∴△ABF≌△DEC，∠BAF=∠EDC， ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF， ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA， ∴∠AFD=∠DCA； （3）如图， 由△ABC≌△DEF 点B与点E重合， 得 所以点B在AD的垂直平分线上， 且 ∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA， 所以OA=OD，点O在AD的垂直平分线上， ∴直线BO是AD的垂直平分线，。