Question

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片重新摆放，使顶点B与顶点E重合，如图②，这时AC与DF相交于点O．
（1）如图②，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是

 

．
（2）在图②中，将当△DEF绕点B顺时针旋转至如图③位置，这时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据外角的性质，得∠AFD=∠D+∠ABC，∠DCA=∠A+∠ABC，从而得出∠AFD=∠DCA；
（2）成立．由△ABC≌△DEF，可证明∠ABF=∠DEC．则△ABF≌△DEC，从而证出∠AFD=∠DCA；
（3）BO⊥AD．由△ABC≌△DEF，可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，则直线BO是AD的垂直平分线，即BO⊥AD．

解答：解：（1）∠AFD=∠DCA（或相等）．

（2）∠AFD=∠DCA（或成立），理由如下：
方法一：由△ABC≌△DEF，得AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，
∴∠ABF=∠DEC．
在△ABF和△DEC中，

AB=DE ∠ABF=∠DEC BF=EC

∴△ABF≌△DEC（SAS），∠BAF=∠EDC．
∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC，∠FAC=∠CDF．
∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA，
∴∠AFD=∠DCA．
方法二：连接AD．同方法一△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
由△ABC≌△DEF，得FD=CA．
在△AFD和△DCA中，

AF=DC FD=CA AD=DA

∴△AFD≌△DCA（SSS），∠AFD=∠DCA．

（3）如图，BO⊥AD．
方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合，
得∠BAC=∠BDF，BA=BD．
∴点B在AD的垂直平分线上，
且∠BAD=∠BDA．
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF，
∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上．
∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．
方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD．
在△ABO和△DBO中，

AB=DB BO=BO OA=OD

∴△ABO≌△DBO（SSS），∠ABO=∠DBO．
在△ABG和△DBG中，

AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG

∴△ABG≌△DBG（SAS），∠AGB=∠DGB=90°．
∴BO⊥AD．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．