题目内容

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线，则△DBC的面积与△ADC的面积的比值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：根据等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理，可以求得∠ABC=∠ACB=72°，根据角平分线定义，可得∠BCD=∠ACD=36°；根据两角对应相等，得△DBC∽△BCA，设AB=x，BC=y，根据等腰三角形的性质，则AD=CD=BC=y，则BD=x-y．根据相似三角形的性质求得y：x的值即可．
解答：设AB=x，BC=y．
∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
∵CD是角平分线，
∴∠BCD=∠ACD=36°．
∴AD=CD=BC=y，

∴BD=x-y．
∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，
∴△DBC∽△ABC．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
x²-xy-y²=0，
x= $\text{[math]}$ y（负值舍去）．
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵△DBC与△ADC底边分别为BD，AD时，高度相等，
∴△DBC的面积与△ADC的面积的比值是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故选：A．
点评：此题首先根据等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，得到两个三角形的面积之比等于对应边的比是解题关键．