题目内容
【题目】已知图形
和图形上的两点
、
，如果
上的所有点都在图形的内部或边上，则称为图形的内弧．特别的，在
中，
，
分别是两边的中点，如果
上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧．（注：是指劣弧或半圆）在平面直角坐标系中，已知点
．设内弧所在圆的圆心为．
（1）当
时，连接
、
并延长．
①请在图1中画出一条
的内弧
；
②请直接写出的内弧长度的最大值__________．
（2）连接、并延长．
①当
时，请直接写出的所有内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围__________；
②若直线
上存在的内弧所在圆的圆心，请求出
的取值范围．
（3）作点
关于点
的对称点
，作点关于点
的对称点，连接
、
、
．令
，当
的中内弧
所在的圆的圆心在的外部时，的所有中内弧
都存在，请直接写出的取值范围__________．
【答案】（1）①见解析，②
；（2）①
或
，②
且
；（3）
【解析】
（1）①过点A、B作弧线即可；
②以线段AB为直径的半圆即是
的内弧
长度的最大值，利用弧长公式计算即可；
（2）①根据点A、B的坐标求出AB=
，及∠OAB=30°，再分两种情况：当在线段AB上方时，当在线段AB下方时，分别求出最长值即可得到答案；
②取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，当在线段AB下方时且最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，根据矩形的性质及三角形相似求出n的值，即可得到答案；
（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，根据
在线段AO的下方时，在AO的上方时，分别求出的最大值，即可得到n的取值范围.
解：（1）①如图：
②以线段AB为直径的半圆即是的内弧长度的最大值，
∵A(4，0)，B(0，4)，
∴OA=OB=4，
∴AB=
，
∴的内弧长度的最大值=
=，
故答案为：；
（2）①∵A(4，0)，B(0，
)，
∴OA=4，OB=,
∴AB=，
如图，当在线段AB上方时，此时以AB为直径的半圆的弧线最长，过圆心P作PH⊥x轴于H，则PH=
，
∴，
如图，当在线段AB下方时，过A、B两点的圆P与x轴相切，过点A作x轴的垂线，与线段AB的垂直平分线交于点P，交AB于点H，此时最长，连接BP，
∵OA=4，OB=,
∴tan∠OAB=
，
∴∠OAB=30°，
∴∠BAP=60°，
∵PH垂直平分AB，
∴AP=BP，
∴△ABP是等边三角形，
∴AP=AB=，
∴，
综上，或；
②如图，取直线x=6上一点P，连接BP，过点P作PC⊥AB于C，直线x=6交x轴于点D，
当在线段AB下方时且最大，过A、B两点的圆P与y轴相切，则BP⊥y轴，PC垂直平分AB，此时四边形OBPD是矩形，
∴BP=OD=6，
∵A(4，0)，B(0，n),
∴OA=4，OB=n，
∴AB=
，
∴BC=
易证△AOB∽△BCP，
∴
,
∴
解得n=（n=-舍去），
同理，当在线段AB上方时且最大，n=-，
综上，n的取值范围是且；
（3）作AO的垂直平分线，交x轴于点D，交CD于点P，交AB于点E，
当在线段AO的下方时，当AO是直径时，最大，此时DP=OD=AD=2<OC，即圆心P在△BCD内部，
当在AO的上方时，当圆P与BD相切时，即AP⊥BD时，最大，
∵PE⊥AO
∴
，
∴
，
解得
，
∴当
的中内弧所在的圆的圆心
在的外部时，的所有中内弧都存在，n的取值范围是.
小夫子全能检测系列答案
【题目】某市将开展以“走进中国数学史”为主题的知识凳赛活动，红树林学校对本校100名参加选拔赛的同学的成绩按A，B，C，D四个等级进行统计，绘制成如下不完整的统计表和扇形统计图：
成绩等级 | 频数（人数） | 频率 |
A | 4 | 0.04 |
B | m | 0.51 |
C | n | |
D | ||
合计 | 100 | 1 |
（1）求m= ，n= ；
（2）在扇形统计图中，求“C等级”所对应心角的度数；
（3）成绩等级为A的4名同学中有1名男生和3名女生，现从中随机挑选2名同学代表学校参加全市比赛，请用树状图法或者列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．
