题目内容
【题目】如图，在ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6cm，点M从点A出发沿AB方向以每秒一个单位长的速度向点B匀速运动，与此同时点N也从点A出发沿AC方向以相同的速度向点C匀速运动，过点N作DN∥AB，交BC于点D，连接MD，设运动的时间是t秒(
).
(1)填空：
____________；
(2)是否存在某一时刻，使得四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积比为4：9，若存在求
值，若不存在请说明理由；
(3)当为何值时，ΔMND为等腰三角形?请直接写出符合条件的值.
【答案】(1) 
;(2) 2s或4s;(3)见解析.
【解析】
（1）由∠BAC=120°，AB=AC=6cm，可以得到ΔBAC为等腰三角形，并且
，高是
，通过
计算即可.
（2）作AE⊥MN于E，MF⊥BC于点F，则可以通过求证四边形MBDN是平行四边形，得出AE，MN，MF的长，并根据四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，
则
，化简即可得.
（3）当ΔMND为等腰三角形时，分三种情况讨论：①当MD=MN时，②当ND=MN时，③当MD=ND时，利用（1）和（2）中的已知和已证条件求解.
解：(1) ∵∠BAC=120°，AB=AC=6cm，
∴ΔBAC为等腰三角形，
∴∠B=30°
∴
.
(2)依题意，得
AM=AN=t
∴∠AMN=∠ANM=30°
∵AB=AC
∴∠B=∠C=30°
∴∠AMN∠B
∴NN∥BC
∵ND∥BM
∴四边形MBDN是平行四边形(另法：证明DN∥BM，DN=BM也可)
作AE⊥MN于E
∴ME=NE=
MN
∵∠AME=30°
∴AE=AM=t，ME=
AE=
∴MN=2ME=
作MF⊥BC于点F，∠B=30°
∴MF=BM=
若四边形MBDN的面积与三角形ABC的面积的比为4：9，
则
即：
∴
，
故当t=2s或4s时，四边形MBON的面积与三角形ABC的面积的比为4：9.
(3)
由（1）可知：ΔBAC为等腰三角形，∠B=30°，
∵DN∥AB
∴ΔDNC为等腰三角形，
∴CN=DN=6-t，
由（2）可知：MN=，NN∥BC
∴∠MND=∠NDC=30°
①如图示，当MD=MN时，ΔMND为等腰三角形，
∴
即：
∴
②如图示，当ND=MN时，ΔMND为等腰三角形，
即：
∴
③如图示，当MD=ND时，ΔMND为等腰三角形，
∴
即：
∴
.
