Question

如图所示，平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=

5

，AO=2，OB=1．
（1）AC，BD互相垂直吗？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）在△AOB中，根据勾股定理可证△AOB为直角三角形，即可证AC、BD互相垂直．
（2）根据菱形的判定，即对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可证四边形ABCD是菱形．
（3）根据菱形的面积公式可求．

解答：解：（1）AC、BD互相垂直．理由如下：
在△AOB中，
∵AB=

5

，AO=2，OB=1，
∴AB²=（

5

）²=5，AO²+OB²=2²+1²=5，
∴AB²=AO²+OB²，
∴△AOB为直角三角形，即∠AOB=90°．
因此AC、BD互相垂直．（3分）

（2）四边形ABCD是菱形．理由如下：
因为平行四边形ABCD中，由（1）可知AC、BD互相垂直，
所以四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．（6分）

（3）求四边形ABCD的面积．
平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=

5

，AO=2，OB=1，
∴AC=2AO=4，BD=2，
四边形ABCD的面积为

1

2

AC×BD=

1

2

×4×2=4．
因此四边形ABCD的面积是4．（10分）

点评：本题考查了勾股定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．