题目内容
如图，矩形纸片ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，E为BC上一点，将纸片沿AE翻折，使点E与CD边上的点F重合．
（1）求线段EF的长；
（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；
（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．
（1）求线段EF的长；
（2）若线段AF上有动点P（不与A、F重合），如图（2），点P自点A沿AF方向向点F运动，过点P作PM∥EF，PM交AE于M，连接MF，设AP=x（cm），△PMF的面积为y（cm）2，求y与x的函数关系式；
（3）在题（2）的条件下，△FME能否是等腰三角形？若能，求出AP的值，若不能，请说明理由．
（1）根据折叠的性质知：∠ABE=∠AFE=90°，AB=AF=10cm，EF=BE；
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8-EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴
=
，即
=
，PM=
；
在Rt△PMF中，PM=
，PF=10-x；
则S△PMF=
（10-x）•
=-
x2+
x；（0＜x＜10）
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=
=
；
同理可求得AE=
=5
，AM=
=
x；
∴ME=5
-
x；
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF2=ME2，即：
x2-20x+100=（5
-
x）2，解得x=5；
②MF=EF，则MF2=EF2，即：
x2-20x+100=25，化简得：x2-16x+60=0，解得x=6，x=10（舍去）；
③ME=EF，则有：
5
-
x=5，解得x=10-2
；
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10-2
）cm时，△FME是等腰三角形．
Rt△ADF中，AF=10cm，AD=8cm；由勾股定理得：DF=6cm；
∴CF=CD-DF=10-6=4cm；
在Rt△CEF中，CE=BC-BE=BC-EF=8-EF，由勾股定理得：
EF2=CF2+CE2，即EF2=42+（8-EF）2，解得EF=5cm；
（2）∵PM∥EF，
∴PM⊥AF，△APM∽△AFE；
∴
| PM |
| EF |
| AP |
| AF |
| PM |
| 5 |
| x |
| 10 |
| x |
| 2 |
在Rt△PMF中，PM=
| x |
| 2 |
则S△PMF=
| 1 |
| 2 |
| x |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
（3）在Rt△PMF中，由勾股定理，得：
MF=
| PM2+FP2 |
|
同理可求得AE=
| AB2+BE2 |
| 5 |
| AP2+PM2 |
| ||
| 2 |
∴ME=5
| 5 |
| ||
| 2 |
若△FME能否是等腰三角形，则有：
①MF=ME，则MF2=ME2，即：
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
②MF=EF，则MF2=EF2，即：
| 5 |
| 4 |
③ME=EF，则有：
5
| 5 |
| ||
| 2 |
| 5 |
综上可知：当AP的长为5cm或6cm或（10-2
| 5 |
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