Question

下列方程的解分别是：
（1）

x-1

x+1

+

2x

1-x2

=0

 

．
（2）

x+3

x2-3x+2

+

x+2

x2-4x+3

=

x+1

x2-5x+6

 

．
（3）2(x+

1

x

)2-3(x+

1

x

)-5=0

 

．
（4）x²+2x-

3

x2+2x+1

=2

 

．
（5）

1

x2-2x-1

+

2

x2-2x-2

=

3

x2-2x-3

 

．
（6）

1

x-1

-

1

x-2

=

1

x-6

-

1

x-7

 

．
（7）

x-8

x-10

+

x-4

x-6

=

x-5

x-7

+

x-7

x-9

 

．

Answer 1

分析：这几道题应注意换元法的运用；解决此类题如

x-8

x-10

+

x-4

x-6

=

x-5

x-7

+

x-7

x-9

，关键是使其分母先相等或分子先相等，再使其分子或分母相等．

解答：解：（1）∵

x-1

x+1

-

2x

(x+1)(x-1)

=0，∴（x-1）²-2x=0，
∴x2-4x+1=0，x1=2+

3

，x2=2-

3

；
2）∵

x+3

(x-1)(x-2)

+

(x+2)

(x-1)(x-3)

=

x+1

(x-2)(x-3)

，
∴（x+3）（x-3）+（x+2）（x-2）=（x+1）（x-1），
∴x²=12，∴x1=2

3

，x2=-2

3

．
（3）令y=x+

1

x

，则原方程化为2y²-3y-5=0，
∴y1=-1，y2=

5

2

，∴x+

1

x

=-1，x2+x+1=0无解，或x+

1

x

=

5

2

，
∴2x²-5x+2=0，∴x1=2，x2=

1

2

；
（4）令x²+2x-1=y，则原方程化为y-

3

y

=2，∴y²-2y-3=0，∴y₁=3，y₂=-1，∴x²-2x-1=3，即x²-2x-4=0，∴x1=

5

-1，x2=-

5

-1
或x²+2x-1=-1，∴x₃=0，x₄=-2．
（5）设x²-2x-1=y，则原方程化为

1

y

+

2

y-1

=

3

y-2

∴（y-1）（y-2）+2y（y-2）-3y（y-1）=0，∴4y-2=0，y=

1

2

，∴x2-2x-1=

1

2

，∴2x²-4x-3=0，
∴x1=

2+ 10

2

，x2=

2- 10

2

．
（6）∵

(x-2)-(x-1)

(x-2)(x-1)

=

(x-7)-(x-6)

(x-6)(x-7)

，
∴

1

(x-2)(x-1)

=

1

(x-6)(x-7)

∴10x=40，∴x=4．
（7）

x-10+2

x-10

+

x-6+2

x-6

=

x-7+2

x-7

+

x-6+2

x-9

∴原方程化为

1

x-10

-

1

x-6

=

1

x-7

+

1

x-9

∴

1

x-10

-

1

x-9

=

1

x-7

-

1

x-6

∴

1

(x-10)(x-9)

=

1

(x-7)(x-6)

∴x=8．

点评：本题主要考查用换元法解分式方程，难度较大．注意：换元法应先将方程中多次出现的一个式子设为一个字母，然后得到一个新的方程，然后解出，反代入原式即可求解．