Question

已知：如图，点O是四边形BCED外接圆的圆心，点O在BC上，点A在CB的延长线上，且∠ADB=∠DEB，EF⊥BC于点F，交⊙O于点M，EM=2．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若弧BM上有一动点P，且sin∠CPM=，求⊙O直径的长；
（3）在（2）的条件下，如果DE=，求tan∠DBE的值．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠CBD=90°．
又∵OD=OB，
∴∠CBD=∠ODB．
∴∠BCD+∠ODB=90°．
∵∠ADB=∠DEB，
而∠DEB=∠BCD，
∴∠ADB=∠BCD．
∴∠ADB+∠ODB=90°．
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠CPM=∠CEM，
∴sin∠CEM=sin∠CPM==，
设FC=2k，则EC=3k，EF=k，
∵EM与直径BC垂直，且EM=2，
∴EF=，弧EC=弧MC．
∴k=1，FC=2，EC=3，∠EBC=∠P．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC=90°，
∴sin∠EBC=sin∠CPM==，
∴BC=，
即⊙O直径为；

（3）作直径EQ，连接DQ．
∴∠QDE=90°，EQ=，
在Rt△DEQ中，DQ==．
∵∠DBE=∠Q，
∴tan∠DBE=tan∠Q==．
分析：（1）连接OD，由BC是⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠BDC=90°，而∠CBD=∠ODB，∠DEB=∠BCD，则∠ADB+∠ODB=90°，即可得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠CPM=∠CEM，则sin∠CEM=sin∠CPM==，设FC=2k，则EC=3k，EF=k，根据垂径定理得EF=，弧EC=弧MC．则k=1，FC=2，EC=3；再由圆周角定理的推论得到∠BEC=90°，sin∠EBC=sinP==，即可求出BC；
（3）作直径EQ，连接DQ．根据圆周角定理的推论得∠QDE=90°，在Rt△DEQ中利用勾股定理求出DQ，而∠DBE=∠Q，然后利用正切的定义计算即可．
点评：本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理及其推论、勾股定理以及解直角三角形．