Question

已知：抛物线y=nx²-（3n+2）x+2n+2（n＞0）．
（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；
（2）当n=2时，求抛物线与x轴的交点坐标．

Answer 1

解：（1）∵y=nx²-（3n+2）x+2n+2（n＞0），
∴b²-4ac
=（3n+2）²-4n（2n+2）
=9n²+12n+4-8n²-8n
=n²+4n+4
=（n+2）²，
∵n＞0，
∴b²-4ac=（n+2）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；

（2）当n=2时，抛物线y=nx²-（3n+2）x+2n+2=2x²-8x+6，
当y=0时，0=2x²-8x+6，
∴x²-4x+3=0，
（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：（1，0），（3，0）．
分析：（1）首先求出b²-4ac=（n+2）²，进而利用n＞0得出它的取值范围，进而得出答案；
（2）将n=2代入，求出图象与x轴交点坐标即可．
点评：此题主要考查了二次函数图象与x轴交点个数判定方法以及图象与x轴交点求法，正确进行配方得出b²-4ac的符号是解题关键．