题目内容

(2011•犍为县模拟)如图,在平面直角坐标系中,已知直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=mx2+nx+3经过点A和点(2,3),与x轴的另一交点为C.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若点P是x轴下方的抛物线上一点,且△ACP的面积为10,求P点坐标;
(3)若点D为抛物线上AB段上的一动点(点D不与A,B重合),过点D作DE⊥x轴交x轴于F,交线段AB于点E.是否存在点D,使得四边形BDEO为平行四边形?若存在,请求出满足条件的点D的坐标;若不存在,请通过计算说明理由.
分析:(1)利用一次函数求出A点坐标,将A点坐标和(2,3)分别代入二次函数解析式y=mx2+nx+3,求出m、n的值即可;
(2)求出抛物线的解析式,求出C点坐标,即可求出AC的长,设出P点坐标,用含P点纵坐标的解析式表示出△ACP的面积,又知道其面积为10,可据此建立关于P点纵坐标的方程,解方程即可;
(3)先假设存在四边形BDEO为平行四边形,则有DE=BO,设出D(a,-a2+2a+3),据此即可得出E点坐标的表达式,
由DE=yD-yE,可得到关于a的方程,若方程有根,则四边形BDEO为平行四边形,否则不是平行四边形.
解答:解:(1)在y=-x+3中,当y=0,x=3,
∴A(3,0)…(1分)
把A(3,0),(2,3)代入y=ax2+bx+3,
9a+3b+3=0
4a+2b+3=3

解得
a=-1
b=2

∴y=-x2+2x+3…(4分),

(2)在y=-x2+2x+3中,当y=0时,有-x2+2x+3=0,
∴x1=3,x2=-1,
∴C(-1,0),
∴AC=4  …(5分),
设P(xp,yp).
∴S△ACP=
1
2
AC•|yp|=
1
2
×4|yp|=10

∴|yP|=5,
又∵P点在x轴下方,
∴yP=-5…(7分),
∴-5=-x2+2x+3,
∴x1=4,x2=-2,
∴P坐标为(4,-5)或(-2,-5)…(8分).

(3)不存在…(9分),
∵DE⊥x轴,OB⊥x轴,
∴DE∥OB.
若四边形BDEO为平行四边形,则DE=BO.
设D(a,-a2+2a+3),
∵E在直线AB:y=-x+3上.
∴E(a,-a+3),
∴DE=yD-yE=-a2+2a+3-(-a+3)=-a2+3a.
当DE=BO时,有-a2+3a=3.…(11分)
即a2-3a+3=0,△=9-12<0,
∴方程无实数根.…(12分)
即DE≠BO,
∴不存在点D,使四边形BDEO为平行四边形.…(13分)
点评:本题考查了二次函数的相关知识,是二次函数综合题,不仅涉及待定系数法求二次函数解析式,还要知道存在性问题的基本思路.
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