题目内容
试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．分析：设前后两个二位数分别为x，y，则有（x+y）2=100x+y，将此方程整理成关于x（或y）的一元二次方程，在方程有解的前提下，运用判别式确定y（或x）的取值范围．
解答：解：设前后两个二位数分别为x，y，
∴（x+y）2=100x+y．
x2+2（y-50）x+（y2-y）=0．
b2-4ac=4（y-50）2-4（y2-y）=4（2500-99y）≥0，
解得y≤25
，
当y≤25
时，原方程有解．
∴x=
=50-y±
，
∴2500-99y必为完全平方数，
∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位．
∴y=25，
∴x=30或20，
∴所求的四位数为3025或2025．
∴（x+y）2=100x+y．
x2+2（y-50）x+（y2-y）=0．
b2-4ac=4（y-50）2-4（y2-y）=4（2500-99y）≥0，
解得y≤25
| 25 |
| 99 |
当y≤25
| 25 |
| 99 |
∴x=
-2(y-50)±
| ||
| 2 |
| 2500-99y |
∴2500-99y必为完全平方数，
∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位．
∴y=25，
∴x=30或20，
∴所求的四位数为3025或2025．
点评：考查完全平方数的知识；得到前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方的等量关系是解决本题的关键；判断出y的值是解决本题的难点．
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