Question

如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC

（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【提示】（1）如图，证明△AFE≌△DGE，证出∠AFE＝∠EFC．

（2）证明∠ECG＝30°，∠BCF＝30°．

【答案】如图，是相似．

【证明】延长FE，与CD的延长线交于点G．

在Rt△AEF与Rt△DEG中，

∵　E是AD的中点，

∴　AE＝ED．

∵　∠AEF＝∠DEG，

∴　△AFE≌△DGE．

∴　∠AFE＝∠DGE．

∴　E为FG的中点．

又　CE⊥FG，

∴　FC＝GC．

∴　∠CFE＝∠G．

∴　∠AFE＝∠EFC．

又　△AEF与△EFC均为直角三角形，

∴　△AEF∽△EFC．

① 存在．如果∠BCF＝∠AEF，即k＝＝时，△AEF∽△BCF．

证明：当＝时，＝，

∴　∠ECG＝30°．

∴　∠ECG＝∠ECF＝∠AEF＝30°．

∴　∠BCF＝90°－60°＝30°．

又　△AEF和△BCF均为直角三角形，

∴　△AEF∽△BCF．

② 因为EF不平行于BC，

∴　∠BCF≠∠AFE．

∴　不存在第二种相似情况．