Question

已知直线y=

1

2

x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线y=ax²+bx+c过点A、D、C，其对称轴与直线AB交于点P，
（1）求抛物线的表达式；
（2）求∠POC的正切值；
（3）点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）先求出点A、B的坐标，再根据旋转的性质求出点C、D的坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后求出点P的坐标，过点P作PQ⊥x轴，则PQ∥y轴，根据两直线平行，内错角相等可得∠OPQ=∠POC，然后利用点P的坐标，根据锐角的正切值的定义列式计算即可得解；
（3）根据点M在x轴上，且△ABM与△APD相似可知，点M一定在点A的右侧，然后求出AP、AB、AD的长度，因为对应边不明确，所以分①AP和AB是对应边，②AP和AM是对应边，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AM的长度，再根据点A的坐标求解即可．

解答：解：（1）当y=0时，

1

2

x+1=0，解得x=-2，
当x=0时，y=1，
所以A（-2，0），B（0，1），
∵△AOB顺时针旋转90°得到△COD，
∴C（0，2），D（1，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A、D、C，
∴

4a-2b+c=0 a+b+c=0 c=2

，
解得

a=-1 b=-1 c=2

，
∴抛物线解析式为y=-x²-x+2；

（2）根据（1），抛物线对称轴为x=-

b

2a

=-

-1

2×(-1)

=-

1

2

，

1

2

×（-

1

2

）+1=

3

4

，
∴点P的坐标为（-

1

2

，

3

4

），
过点P作PQ⊥x轴于Q，则PQ∥y轴，
∴∠POC=∠OPQ，
∵tan∠OPQ=

1 2

3 4

=

2

3

，
∴tan∠POC=

2

3

；

（3）∵点M在x轴上，且△ABM与△APD相似，
∴点M必在点A的右侧，
AP=

[-2-(- 1 2 ) ]2+(0- 3 4 )2

=

3 5

4

，
AB=

22+12

=

5

，
AD=1-（-2）=1+2=3，
∵∠A=∠A，
∴①AP和AB是对应边时，

AP

AB

=

AD

AM

，
即

3 5 4

5

=

3

AM

，
解得AM=4，
设点M坐标为（x，0），
则x-（-2）=4，
解得x=2，
所以点M的坐标为（2，0），
②AP和AM是对应边时，

AP

AM

=

AD

AB

，
即

3 5 4

AM

=

3

5

，
解得AM=

5

4

，
设点M坐标为（x，0），
则x-（-2）=

5

4

，
解得x=-

3

4

，
所以点M的坐标为（-

3

4

，0），
综上所述，存在点M（2，0）或（-

3

4

，0），使△ABM与△APD相似．

点评：本题是对二次函数的综合考查，有旋转变换的性质，待定系数法求函数解析式，锐角三角形函数，两点间的距离公式，相似三角形对应边成比例，综合性较强，求出二次函数解析式是解题的关键．