Question

如图，把一个圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面（衔接处无缝隙且不重叠），若每一个扇形的面积都是48πcm²，求：
（1）扇形的弧长；
（2）若另补上圆锥的底部，求圆锥的全面积；
（3）圆锥轴截面底角的正切值．

Answer 1

分析：（1）由每一个扇形的面积都是48πcm²，利用扇形面积公式，即可求得此扇形半径，然后由弧长公式，求得扇形的弧长；
（2）由圆锥的知识，可求得底面圆的半径，继而求得圆锥的全面积；
（3）首先利用勾股定理，求得截面的高，然后由正切函数的定义，即可求得圆锥轴截面底角的正切值．

解答：解：（1）如图：扇形的圆心角为：

1

3

×360°=120°，
根据题意得：S_扇形=

120×πR2

360

=48π（cm²），
∴R=12cm，
∴l_扇形=

120πR

180

=

120π×12

180

=8π（cm）；
∴扇形的弧长为：8πcm；

（2）∵8π=2πr，
∴r=4cm，
∴S_全=S_侧+S_底=48π+π×4²=64π（cm²）；
∴圆锥的全面积为64πcm²；

（3）∵h=

R2-r2

=

122-42

=8

2

，
∴tanα=

8 2

4

=2

2

．
∴圆锥轴截面底角的正切值为：2

2

．

点评：此题考查了扇形的面积、弧长公式以及圆锥的有关计算．此题难度适中，注意熟记公式与性质是解此题的关键．