Question

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，连接BM，BM的垂直平分线交BC的延长线于F，连接MF交CD于N．求证：
（1）BM=EF； 
（2）2CN=DN．

Answer 1

分析：（1）根据AD∥BC推出∠AMB=∠EBC，证△AMB∽△EBF，推出EF=2BE，根据BM=2BE推出即可．
（2）过M作MH⊥BC于H，得出四边形AMHB和四边形MDCH是矩形，根据勾股定理求出BM、EF，求出△MBF面积，根据S_△BHM+S_△MHF=

5

2

a²，进而求出FC的长，即可得出答案．

解答：（1）证明：∵M为AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD=

1

2

AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠EBF=∠AMB，
∵EF⊥BM，
∴∠A=∠BEF=90°，
∴△EBF∽△AMB，
∴

EF

BE

=

AB

AM

=

2

1

，
∴EF=2BE=BM，
即BM=EF；

（2）证明：过点M作MH⊥BC于点H，
设AB=2a，M是AD的中点，
则EF=BM=

5

a，
S_△BMF=

1

2

BM•EF=

5

2

a²，
∵S_△BHM+S_△MHF=

5

2

a²，
∴S_△BHM=a²
∴HF=CF+a，
S_△MHF=

1

2

×2a×（a+FC）=

5

2

a²-a²=

3

2

a²，
解得：FC=

1

2

a，
∵△DMN∽△CFN，
∴DN：CN=DM：CF=a：

1

2

a=2：1，
∴DN=2CN．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，正方形性质等知识点，训练学生是否熟练运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．