Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　　．

Answer 1

考点：

圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．

分析：

根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．

解答：

解：∵BD为⊙O的直径，

∴∠BAD=∠BCD=90°，

∵∠BAC=120°，

∴∠CAD=120°﹣90°=30°，

∴∠CBD=∠CAD=30°，

又∵∠BAC=120°，

∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，

∵AB=AC，

∴∠ADB=∠ADC，

∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，

∵AD=6，

∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，

在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．

故答案为：2．

点评：

本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．