Question

如图1，△ABC中，CA=CB，点O在高CH上，OD⊥CA于点D，OE⊥CB于点E，以O为圆心，OD为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与CB相切于点E；

（2）如图2，若⊙O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求△BHE的面积和tan∠BHE的值．

Answer 1

考点：

切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

专题：

计算题．

分析：

（1）由CA=CB，且CH垂直于AB，利用三线合一得到CH为角平分线，再由OD垂直于AC，OE垂直于CB，利用角平分线定理得到OE=OD，利用切线的判定方法即可得证；

（2）由CA=CB，CH为高，利用三线合一得到AH=BH，在直角三角形ACH中，利用勾股定理求出CH的长，由圆O过H，CH垂直于AB，得到圆O与AB相切，由（1）得到圆O与CB相切，利用切线长定理得到BE=BH，如图所示，过E作EF垂直于AB，得到EF与CH平行，得出△BEF与△BCH相似，由相似得比例，求出EF的长，由BH与EF的长，利用三角形面积公式即可求出△BEH的面积；根据EF与BE的长，利用勾股定理求出FB的长，由BH﹣BF求出HF的长，利用锐角三角形函数定义即可求出tan∠BHE的值．

解答：

（1）证明：∵CA=CB，点O在高CH上，

∴∠ACH=∠BCH，

∵OD⊥CA，OE⊥CB，

∴OE=OD，

∴圆O与CB相切于点E；

（2）解：∵CA=CB，CH是高，

∴AH=BH=AB=3，

∴CH==4，

∵点O在高CH上，圆O过点H，

∴圆O与AB相切于H点，

由（1）得圆O与CB相切于点E，

∴BE=BH=3，

如图，过E作EF⊥AB，则EF∥CH，

∴△BEF∽△BCH，

∴=，即=，

解得：EF=，

∴S_△BHE=BH•EF=×3×=，

在Rt△BEF中，BF==，

∴HF=BH﹣BF=3﹣=，

则tan∠BHE==2．

点评：

此题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．