Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4

3

，BC=4．点M是AC上动点（与点A不重合，且M在DN右边），设AM=x，过点M作AC的垂线，交直线AB于点N．
（1）当△AND的面积为

8 3

3

时，求x的值；
（2）以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能否达到矩形ABCD面积的

1

8

？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知条件和三角形的面积公式可求出AN的值，再利用锐角三角函数值即可求出AM的值即x的值；
（2）能，过D作DH⊥AC，垂足为H，有锐角三角函数关系用含x的代数式表示出MN，HM的值，再根据题意列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=4

3

，AD=BC=4，∠B=90°，
∴tan∠CAB=

BC

AB

=

4

4 3

=

3

3

，
∴∠CAB=30°，
∵S△AND=

1

2

×AD×AN=

8 3

3

，
∴AN=

4 3

3

，
∴

AM

AN

=

AM

4 3 3

=

3

2

，
∴x=AM=2；

（2）能．理由如下：
过D作DH⊥AC，垂足为H，则HM的长等于△DMN中MN边上的高．
有（1）可知∠BAC=∠ADH=30°，
MN=xtan30°=

3 x

3

，AH=ADsin30°=

AD

2

=2，HM=x-2，
矩形面积的

1

8

为：

1

8

×4

3

×4=2

3

，
由题意列方程得

1

2

×

3

3

x（x-2）=2

3

，
原方程可化为x²-2x-12=0，
解得：x=1+

13

或x=1-

13

（舍）
答：以D、M、N三点为顶点的△DMN的面积能到矩形ABCD面积的

1

8

，此时x的值为1+

13

．

点评：本题考查了矩形的性质、锐角三角函数关系、三角形的面积公式以及一元二次方程的应用，题目的难度不大，但综合性很强．