题目内容
把平面直角坐标系中的一些点分成两组，使得两组点各自满足某种函数关系，若点P同时满足这两种函数关系，则称点P是这两种函数的“交集点”．
（1）已知点A（0，0），B（2，-4），C（-1，1），D（3，1），若把点A和点B归为第一组，点C和点D归为第二组，请求出其中的两个“交集点”；
（2）对于任意的实数 m，n，是否存在某种分组方法，使得不同点E（4，4+m），F（0，
n），G（2，2+
n），H（0，4+m），I（3，1+m）有“交集点”？若存在，请求出m与n的关系；若不存在，请说明理由．
（1）已知点A（0，0），B（2，-4），C（-1，1），D（3，1），若把点A和点B归为第一组，点C和点D归为第二组，请求出其中的两个“交集点”；
（2）对于任意的实数 m，n，是否存在某种分组方法，使得不同点E（4，4+m），F（0，
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考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）分别将两点看成直线和抛物线后利用待定系数法确定其解析式，然后求得其交点坐标即可求得其交集点；
（2）分别把E、F、G归为一组，看成直线和把H、I看成直线求得其解析式后即可确定是否存在交集点了．
（2）分别把E、F、G归为一组，看成直线和把H、I看成直线求得其解析式后即可确定是否存在交集点了．
解答：解：（1）第一组：A、B看成直线，
设y=kx+b（k≠0），把（0，0），（2，-4）代入
得
解得
∴y=-2x；
第二组：若C、D看成抛物线
由（-1，1），（3，1）可得对称轴为直线x=1
设y=a（x-1）2+k把（-1，1）代入
得4a+k=1，
∴k=1-4a，
∴y=a（x-1）2+1-4a
不妨设a为1，则y=（x-1）2-3，
求y=（x-1）2-3与y=-2x的交点
解得
，
∴这种分组的“交集点”p（
，-2
）或（-
，2
）；
（2）存在；
第一组：把E、F、G归为一组，看成直线
设y=kx+b（k≠0），把（0，
n）（2，2+
n）代入
得
，解得
∴y=x+
n，
因为E（4，4+m）在该直线上，代入得：n=2m
∴y=x+m；
第二组：把H、I看成直线
设y=px+q（p≠0），把（3，1+m）（0，4+m）代入
得：
，解得：
，
∴y=-x+4+m，
求y=x+m与y=-x+4+m的交点
解得
，
∴交集点为（2，2+m）
∴当n=2m时，这种分组的“交集点”存在．
设y=kx+b（k≠0），把（0，0），（2，-4）代入
得
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∴y=-2x；
第二组：若C、D看成抛物线
由（-1，1），（3，1）可得对称轴为直线x=1
设y=a（x-1）2+k把（-1，1）代入
得4a+k=1，
∴k=1-4a，
∴y=a（x-1）2+1-4a
不妨设a为1，则y=（x-1）2-3，
求y=（x-1）2-3与y=-2x的交点
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∴这种分组的“交集点”p（
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（2）存在；
第一组：把E、F、G归为一组，看成直线
设y=kx+b（k≠0），把（0，
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得
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∴y=x+
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因为E（4，4+m）在该直线上，代入得：n=2m
∴y=x+m；
第二组：把H、I看成直线
设y=px+q（p≠0），把（3，1+m）（0，4+m）代入
得：
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∴y=-x+4+m，
求y=x+m与y=-x+4+m的交点
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∴交集点为（2，2+m）
∴当n=2m时，这种分组的“交集点”存在．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，重点考查了待定系数法，对于新定义“交集点”的理解是解答本题的关键，难度一般．
练习册系列答案
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