Question

已知：如图，等边△ABC中，AB＝1，P是AB边上一动点，作PE⊥BC，垂足为E；作EF⊥AC，垂足为F；作FQ⊥AB，垂足为Q．

(1)设BP＝x，AQ＝y，求y与x之间的函数关系式；

(2)当点P和点Q重合时，求线段EF的长；

(3)当点P和点Q不重合，但线段PE、FQ相交时，求它们与线段EF围成的三角形周长的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵△ABC是等边三角形，AB＝1． 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝CA＝AB＝1．　1分 　　又∵∠BEP＝∠CFE＝∠FQA＝90°，BP＝x． 　　∴BE＝x，CE＝1－x，CF＝－x，AF＝1－(－x)＝＋x． 　　∴AQ＝AF＝(＋x)， 　　∴y＝x＋．　2分 　　(2)由方程组　3分 　　得x＝．　4分 　　∴当点P和点Q重合时，x＝， 　　∴EF＝CF＝(－x)＝．　5分 　　(3)设线段PE、FQ相交于点M， 　　易证△MEF是等边三角形，　6分 　　且当点P和点A重合时，EF最短为．　7分 　　∴≤m＜．　8分