已知抛物线y=-x2+2mx-m2-m+2．(1)若抛物线与x轴有两个交点.与y轴交于点.求出这条抛物线的解析式及顶点C的坐标,(2)试说明对任何实数m.抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上.并求出L的解析式,中直线L交x轴于点A.试在y轴求一点M.使|MC-MA|的值最大,中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在该对称轴上是否存在点P.使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在.求出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知抛物线y=-x²+2mx-m²-m+2．
（1）若抛物线与x轴有两个交点，与y轴交于点（0，-4），求出这条抛物线的解析式及顶点C的坐标；
（2）试说明对任何实数m，抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上，并求出L的解析式；
（3）若（2）中直线L交x轴于点A，试在y轴求一点M，使|MC-MA|的值最大（C为（1）中抛物线的顶点）；
（4）若（1）中所求抛物线的对称轴与x轴交于点B．那么在该对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线L和x轴同时相切．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）将（0，-4）代入二次函数解析式即可得出m的值，再利用二次函数图象与x轴交点个数判断方法得出m的取值范围，即可得出答案；
（2）由y=-（x-m）²-m+2 知顶点为（m，-m+2），分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）求出过这两点的直线解析式，利用当x=m时，y=-m+2，得出对任何实数m，抛物线的顶点都在一次函数的图象L上；
（3）根据A关于y轴对称的点D（-2，0），利用C为（1）中抛物线的顶点，求出直线CD的解析式，进而得出|NC-NA|=|NC-ND|＜CD=|MC-MA|，得出M点坐标；
（4）利用切线的性质以及勾股定理和等腰直角三角形的性质求出即可．

解答：解：（1）∵抛物线与y轴交于点（0，-4），
∴将（0，-4）代入二次函数解析式得：
-m²-m+2=-4，
∴m²+m-6=0，
解得：m₁=2，m₂=-3，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=（2m）²-4（m²+m-2）=-4m+8=-4m+8＞0．
∴m＜2．
故取m=-3．
∴抛物线的解析式为：
y=-x²-6x-4，
=-（x²+6x）-4，
=-（x+3）²+5，
∴顶点（-3，5）；

（2）由y=-（x-m）²-m+2 知顶点为（m，-m+2）．
分别取m=0，2得点（0，2）和（2，0）过这两点的直线解析式为：设为y=kx+b，
∴

b=2

2k+b=0

，
解得：

b=2

k=-1

，

∴直线解析式为：y=-x+2，
当x=m时，y=-m+2，
∴对任何实数m，抛物线的顶点都在某一次函数的图象L上，
L的解析式为：y=-x+2；

（3）A关于y轴对称的点D（-2，0），
∵C为（1）中抛物线的顶点，
∴设直线CD的解析式为：y=kx+b，
∴

-2k+b=0

-3k+b=5

，
解得：

k=-5

b=-10

（4）∵C点坐标为：（-3，5），A点坐标为：（2，0），B点坐标为：（-3，0），
∴AB=BC=5，∵∠CBA=90°，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵当⊙P₁与直线L相切与点Q₁，连接Q₁P₁，
∴Q₁P₁⊥AC，
∴∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，
∴CQ₁=Q₁P₁，
设P₁的坐标为：（-3，y），
∴CP₁=5-y，
P₁Q₁=CQ₁=y，
∵CP 12=CQ12+P1Q1 2，
∴（5-y）²=y²+y²，
整理得出；y²+10y-25=0，
解得：y₁=5

-5，y₂=-5

-5，
∴满足条件的点有两个，即（-3，5

-5）和（-3，-5

-5）（如图）．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的综合应用和切线的性质定理等知识，利用数形结合得出∠P₁CQ₁=∠CP₁Q₁=45°，以及CQ₁=Q₁P₁是解决问题的关键．