Question

已知：1+3=4=2²；1+3+5=9=3²；1+3+5+7=16=4²；1+3+5+7+9=25=5²，…，
根据前面各式的规律，以下等式（n为正整数），
①1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²；
②1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+3）²；
③1+3+5+7+9+…+2013=1007²； 
④101+…+2013=1007²-50²
其中正确的有________ 个．

Answer 1

3
分析：观察所给等式得到从1开始的连续的奇数的和等于奇数的个数的平方，则1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²，1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+2）²，1+3+5+7+9+…+（2×50-1）²=50²，1+3+5+7+9+…+（2×1007-1）²=1007²，则可对①②③直接判断；通过求差可对④进行判断．
解答：1+3+5+7+9+…+（2n-1）=n²，所以①正确；
1+3+5+7+9+…+（2n+3）=（n+2）²，所以②错误
1+3+5+7+9+…+2013=1+3+5+7+9+…+（2×1007-1）²=1007²，所以③正确；
∵1+3+5+7+9+…+99=1+3+5+7+9+…+（2×50-1）²=50²，
∴101+…+2013=1007²-50²，所以④正确．
故答案为3．
点评：本题考查了规律型：数字的变化类：探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．