Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD，连接BF．

（1）求证：D是BC的中点．

（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

Answer 1

 

【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）因为AF∥BC，E为AD的中点，即可根据AAS证明△AEF≌△DEC，故有BD=DC；

（2）由（1）知，AF=DC且AF∥DC，可得四边形AFDC是平行四边形，又因为AD=CF，故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．

【解答】（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DCE

∵E是AD的中点，

∴AE=DE．

∵∠AEF=∠DEC，

∴△AEF≌△DEC．

∴AF=DC，

∵AF=BD

∴BD=CD，

∴D是BC的中点；

 

（2）四边形AFBD是矩形，

证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵AF=BD，AF∥BC，

∴四边形AFBD是平行四边形，

∴四边形AFBD是矩形．

【点评】本题考查矩形的判定和全等三角形的判定与性质．要熟知这些判定定理才会灵活运用，根据性质才能得到需要的相等关系．