Question

13．已知AD是∠BAC的平分线，EF⊥AD于P，交BC的延长线于M，求证：∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

Answer 1

分析 由角的互余关系得出∠M=90°-∠PDM，再由角平分线的定义、三角形的外角性质以及三角形内角和定理得出∠PDM=90°-$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B），即可得出结论．

解答 解：∵EF⊥AD，
∴∠MPD=90°，
∴∠M=90°-∠PDM，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠PDM=∠BAD+∠B=$\frac{1}{2}$∠BAC+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴2∠PDM=∠BAC+2∠B=180°-∠ACB+∠B，
∴∠PDM=90°-$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B），
∴∠M=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠B）．

点评 本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．