题目内容

（2007•青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP=AD时（如图②）：

∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
（2）当AP=AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP=AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：______；
（4）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP=AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：______．
【答案】分析：（2）仿照（1）的方法，只需把换为；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；
（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；
（5）利用（4），得到更普遍的规律．
解答：解：（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC

（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；

（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC
问题解决：S△PBC=S△DBC+S△ABC．
点评：注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．
练习册系列答案
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（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；
（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由．
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∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
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