题目内容
（2006•广安）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，且12a+5c=0．（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动．
①移动开始后第t秒时，设S=PQ2（cm2），试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据已知条件，结合正方形的性质求出A、B点的坐标，利用一般式根据待定系数法求解．
（2）①用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理建立起它们之间的关系；
②利用①中关系式，根据非负数的性质求出S取最小值时的t的取值，计算出PB、BQ的长，然后根据R的位置进行分类讨论．
解答：解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A点在抛物线上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=
（1分）
由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1
即：-
=1，b=-
∴抛物线的解析式为：y=
x2-
x-2．（3分）
（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2（4分）
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t
）2+
（0≤t≤1），
∴当t=
时，S取得最小值
．（6分）
这时PB=2
=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）
分情况讨论：
（A）假设R在BQ的右边，这时QR=∥PB，则：
R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=
x2-
x-2，左右两边相等，
∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意．（8分）
（B）假设R在BQ的左边，这时PR=∥QB，
则：R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=
x2-
x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．（9分）
（C）假设R在PB的下方，这时PR=∥QB，
则：R（1.6，-2.8）代入y=
x2-
x-2，左右不相等，R不在抛物线上．
综上所述，存在一点R（2.4，-1.2）满足题意．（10分）
点评：此题主要考查二次函数的有关知识，是一个典型的动点问题．作为一个压轴题，综合性强，难度较大，并运用了分类讨论思想．
（2）①用t表示出PB、BQ的长，利用勾股定理建立起它们之间的关系；
②利用①中关系式，根据非负数的性质求出S取最小值时的t的取值，计算出PB、BQ的长，然后根据R的位置进行分类讨论．
解答：解：（1）据题意知：A（0，-2），B（2，-2）
∵A点在抛物线上，
∴c=-2
∵12a+5c=0，
∴a=
（1分）由AB=2知抛物线的对称轴为：x=1
即：-
=1，b=-
∴抛物线的解析式为：y=
x2-
x-2．（3分）（2）①由图象知：PB=2-2t，BQ=t，
∴S=PQ2=PB2+BQ2=（2-2t）2+t2（4分）
即S=5t2-8t+4（0≤t≤1）．（5分）
②假设存在点R，可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形，
∵S=5t2-8t+4（0≤t≤1），
∴S=5（t
）2+
（0≤t≤1），∴当t=
时，S取得最小值
．（6分）这时PB=2
=0.4，BQ=0.8，P（1.6，-2），Q（2，-1.2）．（7分）分情况讨论：
（A）假设R在BQ的右边，这时QR=∥PB，则：
R的横坐标为2.4，R的纵坐标为-1.2，即（2.4，-1.2），
代入y=
x2-
x-2，左右两边相等，∴这时存在R（2.4，-1.2）满足题意．（8分）
（B）假设R在BQ的左边，这时PR=∥QB，
则：R的横坐标为1.6，纵坐标为-1.2，即（1.6，-1.2）
代入y=
x2-
x-2，左右两边不相等，R不在抛物线上．（9分）（C）假设R在PB的下方，这时PR=∥QB，
则：R（1.6，-2.8）代入y=
x2-
x-2，左右不相等，R不在抛物线上．综上所述，存在一点R（2.4，-1.2）满足题意．（10分）
点评：此题主要考查二次函数的有关知识，是一个典型的动点问题．作为一个压轴题，综合性强，难度较大，并运用了分类讨论思想．
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